Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử (P1)

Giới thiệu bài học

Bài giảng “Phân tích đa thức thành nhân tử” giúp học sinh biết cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng ba phương pháp: Đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức. 

Nội dung bài học

Dạng 1. Phương pháp đặt nhân tử chung.

Phương pháp: Tìm nhân tử chung của các hệ số nếu có (ƯCLN của các hệ số) hoặc là những đơn, đa thưc có mặt trong tất cả các hạng tử

Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung với một hạng tử khác hoặc nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)

Nhằm đưa về dạng

\[C.A + C.B = C.\left( {A + B} \right)\]

\[A.B + A.C + A.D = A.\left( {B + C + D} \right)\]

Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng)

VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\[a/7x+7y\]

\[b/3x\left( x-1 \right)+7{{x}^{2}}\left( x-1 \right)\]

Giải:

\[a/7x+7y\]  

   \[=7\left( x+y \right)\]

 \[b/3x\left( x-1 \right)+7{{x}^{2}}\left( x-1 \right)\]  

\[=\left( x-1 \right)\left( 3x+7{{x}^{2}} \right)\]

Dạng 2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Phương pháp: Nắm chắc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức nâng cao. Nhận dạng hằng đẳng thức với các biểu thức phức tạp thêm chút tư duy, sáng tạo trong cách biến đổi để xuất hiện hằng đẳng thức.

VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

 \[{{x}^{3}}-64\]

 Giải:

\[{{x}^{3}}-64={{x}^{3}}-{{4}^{3}}\]

              \[=\left( x-4 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+16 \right)\]

Dạng 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

Phương pháp: Dùng các tính chất của phép cộng đa thức, ta kết hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm và phân tích chung đối với các nhóm.

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải được thực hiện nữa

Dạng bài toán:

\[A.B + A.C + E.B + E.C = \left( {A.B + A.C} \right) + \left( {E.B + E.C} \right) = A\left( {B + C} \right) + E\left( {B + C} \right) = \left( {B + C} \right)\left( {A + E} \right)\]

VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\[{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\]

Giải:

\[{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1\] \[={{x}^{3}}\left( x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\]

                          \[={{x}^{3}}\left( x+1 \right)-\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\]

                          \[=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-x+1 \right)\]

Dạng 4. Phương pháp tách hạng tử.

Phương pháp: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:

• Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương hoặc hiệu của hai hạng tử ${{a}^{n}}-{{b}^{n}}$
• Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỉ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung.
• Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung

Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán

Định lý bổ sung

• Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó p phải là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
• Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x-1
• Nếu f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1

VD: \[{{\left( x+5 \right)}^{2}}{{\left( x-7 \right)}^{2}}\] \[=\left[ \left( x+5 \right)\left( x-7 \right) \right]\left( x+5+x-7 \right)\]

                                \[=12.\left( 2x-2 \right)\]