Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chương 5. Thống kê

Trang chủ > Lớp 10 > Toán > Toán lớp 10 > Bài 1. Bất đẳng thức

Bài 1. Bất đẳng thức

1 - Ôn tập bất đẳng thức

Tài liệu & bài tập tự luyện

Giới thiệu bài học

Bài giảng “Bất đẳng thức” sẽ giúp các em hiểu được các khái niệm về BĐT, nắm được các tính chất của BĐT, nắm được các BĐT cơ bản và tính chất của chúng, chứng minh được các BĐT đơn giản, vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của BĐT để biến đổi, từ đó giải được các bài toán về chứng minh BĐT, vận dụng các BĐT Cô–si, BĐT chứa GTTĐ để giải các bài toán liên quan.

Nội dung bài học

I. Ôn tập bất đẳng thức

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" đgl BĐT.

2. BĐT hệ quả, tương đương

Nếu mệnh đề "a < b $\Rightarrow $ c < d" đúng thì ta nới BĐT c < d là BĐT hệ quả của a < b. Ta viết: a < b $\Rightarrow $ c < d.

Nếu a < b là hệ quả của c < d và ngược lại thì hai BĐT tương đương nhau. Ta viết:

            a < b $\Leftrightarrow $  c < d.

a < b $\Leftrightarrow $ a – b < 0

3. Tính chất của BĐT

Điều kiện

Nội dung

Tên gọi

 

\[a<b\Leftrightarrow a+c<b+c\left( 1 \right)\]

Cộng hai vế của BĐT với một số

\[c>0\]

\[\begin{matrix}   a<b\Leftrightarrow ac<bc\left( 2a \right)  \\\end{matrix}\]

Nhân hai vế của BĐT với một số

\[c<0\]

\[a<b\Leftrightarrow ac>bc\left( 2b \right)\]

 

\[a<b\] và \[c<d\Leftrightarrow a+c<b+d\left( 3 \right)\]

Cộng hai vế BĐT cùng chiều

\[a>0,c>0\]

\[a<b\] và \[c<d\Leftrightarrow ac<bd\left( 4 \right)\]

Nhân hai vế BĐT cùng chiều với các số dương

n nguyên dương

\[\begin{matrix}   a<b\Leftrightarrow {{a}^{2n+1}}<{{b}^{2n+1}}\left( 5a \right)  \\\end{matrix}\]

Nâng hai vế của BĐT lên một luỹ thừa

\[0<a<b\Leftrightarrow {{a}^{2n}}<{{b}^{2n}}\left( 5b \right)\]

\[a>0\]

\[a<b\Leftrightarrow \sqrt{a}<\sqrt{b}\left( 6a \right)\]

Khai căn hai vế của một BĐT

 

\[a<b\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}\left( 6b \right)\]

  • Ta còn gặp các BĐT không ngặt: \[a\le b\] hoặc \[a\ge b.\]

II. Bất đẳng thức Côsi

1. Bất đẳng thức Côsi

            $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$,\[\forall a,b\ge 0\]

Dấu "=" xảy ra \[\Leftrightarrow a=b.\]

2. Các hệ quả

HQ1:   \[a+\frac{1}{a}\ge 2\] , \[\forall a>0\]

HQ2: Nếu x, y cùng dương và có tổng x + y không đổi thì tích x.y lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

HQ3: Nếu x, y cùng dương và có tích x.y không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

III. BĐT chứa dấu GTTĐ

Điều kiện

Nội dung

 

\[\left| x \right|\ge 0;\left| x \right|\ge x;\left| x \right|\ge -x\]

\[a>0\]

\[\left| x \right|\le a\Leftrightarrow -a\le x\le a\]

\[\left| x \right|\le a\Leftrightarrow x\le -a\]hoặc $x\ge a$

 

$\left| a \right|-\left| b \right|\le \left| a-b \right|\le \left| a \right|+\left| b \right|$

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (0)