Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chương 5. Thống kê

Trang chủ > Lớp 10 > Toán > Toán lớp 10 > Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ

1. Định nghĩa + Tính chất

Tài liệu & bài tập tự luyện

Giới thiệu bài học

Bài giảng “Tích vô hướng của hai vectơ” sẽ giúp các em nắm được định nghĩa tính chất của tích vô hướng của hai vectơ cùng với ý nghĩa vật lý của tích vô hương.

Nội dung bài học

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ (khác $\overrightarrow{0}$). Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức sau: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$

Qui ước: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$ nếu ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng $\overrightarrow{0}$

Chú ý

i) Với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$

ii) Khi $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ thì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{\overrightarrow{a}}^{2}}$, số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Ta có ${{\overrightarrow{a}}^{2}}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{a} \right|.\cos {{0}^{0}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}$

Ví dụ 1. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ và có chiều cao $AH$ . Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$

Giải

\[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)\]

 $=AB.AC.\cos A=a.a.\cos {{60}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}$

$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ (vì $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{BC}$ )

 2. Các tính chất của tích vô hướng

Với $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ bất kì và mọi số $k$ ta có:

  • $\overrightarrow{a}\overrightarrow{.b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$ (hoán vị)
  • $\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$
  • $\left( k\overrightarrow{a} \right)\overrightarrow{b}=k\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)=\overrightarrow{a}.\left( k\overrightarrow{b} \right)$
  • ${{\overrightarrow{a}}^{2}}\ge 0,{{\overrightarrow{a}}^{2}}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$

Nhận xét:

  • ${{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}$
  • ${{\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+{{\overrightarrow{b}}^{2}}$
  • $\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)={{\overrightarrow{a}}^{2}}-{{\overrightarrow{b}}^{2}}$

Ví dụ 2. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ (đều khác $\overrightarrow{0}$) . Khi nào tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương?số âm? Bằng 0?

Giải

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ . Vì $\left| \overrightarrow{a} \right|>0,\left| \overrightarrow{b} \right|>0$ nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}>0$ khi và chỉ khi $\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)>0\Leftrightarrow {{0}^{0}}\le \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)<{{90}^{0}}$

Tương tự $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<0\Leftrightarrow {{90}^{0}}<\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)\le {{180}^{0}}$

\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)={{90}^{0}}\].

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

  • Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right),\overrightarrow{b}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right)$
  • Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}$.
  • Nhận xét: $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$. Khi đó $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$

Ví dụ 3. Cho ba đểm $A\left( 1;2 \right),B\left( -1;1 \right),C\left( 2;0 \right)$.Chứng minh $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{AC}$

Giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-1 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 1;-2 \right)$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-2.1+\left( -1 \right).\left( -2 \right)=0$

Suy ra $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{AC}$

4. Ứng dụng

a) Độ dài vectơ: Cho $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right)$. Độ dài vectơ $\overrightarrow{a}$: $\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$

b) Góc giữa hai vectơ: $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right),\overrightarrow{b}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right)$. Khi đó $\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}=\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$

Ví dụ 4. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left( 3;2 \right),\overrightarrow{b}=\left( 5;-1 \right)$.

Ta có $\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\frac{3.5+2.\left( -1 \right)}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)={{45}^{0}}$

c) Khoảng cách giữa hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là: $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$

Ví dụ 5. Cho $A\left( 1;2 \right),B\left( 4;6 \right)$.Khi đó $AB=\sqrt{{{\left( 4-1 \right)}^{2}}+{{\left( 6-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (0)