Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chương 5. Thống kê

Trang chủ > Lớp 10 > Toán > Toán lớp 10 > Bài 3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác.

Bài 3. Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác.

1. Định lý cosin

Tài liệu & bài tập tự luyện

 Giới thiệu bài học

Bài giảng “Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác” sẽ giúp các em hiểu và nắm được các định ly sin, cos trong tam giác và các công thức độ dài trung tuyến và tính diện tích tam giác để từ đó vận dụng lý thuyết đó vào các bài tập liên quan.

Nội dung bài học

1. Định lí côsin

a) Đinh lí: Trong mọi tam giác $ABC$ với $AB=c,BC=a,CA=b$ ta có

${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.\cos A$

${{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ca.\cos B$

${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab.\cos C$

 Ví dụ : Cho tam giác $ABC$ với $AB=10cm,BC=16cm,\angle C={{110}^{0}}$. Tính cạnh $AB$ và các góc \[A,B\] của tam giác đó.

Giải

Áp dụng định lí cosin ta có: $A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{A}^{2}}-2BC.CA.\cos C$

Thay số ta được: $A{{B}^{2}}={{16}^{2}}+{{10}^{2}}-2.16.10.\cos {{110}^{0}}\approx 465,44$

Suy ra: $AB\approx \sqrt{465,44}\approx 21,6cm$

b) Hệ quả: Từ định lí suy ra

$\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}$

$\cos B=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca}$

$\cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}$

 c) Công thức độ dài đường trung tuyến

$m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}$

$m_{b}^{2}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4}$

$m_{c}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4}$

 Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $a=7cm,b=8cm,c=6cm$. Tính độ dài đường trung tuyến ${{m}_{a}}$ của tam giác đã cho.

Giải

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến ta có: $m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}$

Thay số ta được: $m_{a}^{2}=\frac{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}{2}-\frac{{{7}^{2}}}{4}=\frac{151}{4}\Rightarrow {{m}_{a}}=\frac{\sqrt{151}}{2}cm$

2. Định lí sin

Trong tam giác bất kì $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Ví dụ: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Giải

Theo định lí hàm sin trong tam giác $ABC$ ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R$

Thay số ta được: $\frac{a}{\sin {{60}^{0}}}=2R\Leftrightarrow R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

3. Công thức tính diện tích tam giác

Kí hiệu $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ , $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác $ABC$

Ta có các công thức tính diện tích tam giác $ABC$ là

$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ca.sinB$

$S=\frac{abc}{4R}$

$S=pr\,\,$

$S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$ (công thức hê rông)

 4. Giải tam giác

  • Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết các yếu tố khác.
  • Muốn giải tam giác ta áp dụng định lí sin, cos, công thức diện tích tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ biết cạnh $a=17,4m,\,\angle B={{44}^{0}}3{0}',\angle C={{64}^{0}}$. Tính góc $A$ và các cạnh $b,c$.

Giải

Ta có $\angle A={{180}^{0}}-\left( \angle B+\angle C \right)={{180}^{0}}-\left( {{44}^{0}}3{0}'+{{64}^{0}} \right)={{71}^{0}}3{0}'$

Theo định lí sin ta có $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Do đó $b=\frac{a\sin B}{\sin A};\,\,c=\frac{a\sin C}{\sin A}$

Thay số: $b=\frac{17,4.0,7009}{0,9483}\approx 12,9m$ ; $c=\frac{17,4.0,8988}{0,9483}\approx 16,5m$

5. Áp dụng vào việc đo đạc

Ví dụ 1: Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp. Giả sử $CD=h$ là chiều cao của tháp trong đó $C$ là chân tháp. Chọn hai điểm $A,B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Ta đo khoảng cách $AB$ và các góc $\angle CAD,\,\angle CBD$. Chẳng hạn đo được $AB=24m,\,\angle CAD=\alpha ={{63}^{0}}$, $\angle CBD=\beta ={{48}^{0}}.$ Khi đó chiều cao $h$ của tháp được tính như sau:

Giải

Áp dụng định lí sin vào tam giác $ABD$ có $\frac{AD}{\sin \beta }=\frac{AB}{\sin D}$

Trong đó $\angle D=\alpha -\beta ={{15}^{0}}$.

Do đó $AD=\frac{AB\sin \beta }{\sin \left( \alpha -\beta \right)}=\frac{24.\sin {{48}^{0}}}{\sin {{15}^{0}}}\approx 68,91$

Trong tam giác vuông $ACD$ ta có: $h=CD=AD\sin \alpha \approx 61,4m.$

Ví dụ 2: Khoảng cách từ $A$ đến $C$ không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau: Xác định một điểm $B$ có khoảng cách $AB=12m$ và đo được góc $\angle ACB={{37}^{0}}$. Hãy tính khoảng cách $AC$ biết rằng $BC=5m$.

Giải

Theo định lí sin áp dụng cho tam giác $ABC$ ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{CA}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

suy ra $\sin A=\frac{BC.\sin C}{AB}$ và $AC=\frac{AB\sin B}{\sin C}$

Thay số ta được $\sin A=\frac{5.\sin {{37}^{0}}}{12} $

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (0)