Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chương 5. Thống kê

Trang chủ > Lớp 10 > Toán > Toán lớp 10 > Bài 3. Tích của vecto với một số

Bài 3. Tích của vecto với một số

Trung điểm và trọng tâm

Tài liệu & bài tập tự luyện

Giới thiệu bài học

 Bài giảng “Tích của một vectơ với một số” sẽ giúp các em nắm được định nghĩa và tính chất của phép nhân một vectơ với một số, nắm được điều kiện hai vectơ cùng phương để từ đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Nội dung bài học

1.Định nghĩa

Cho số $k\ne 0$ và vectơ $\overrightarrow{a}\ne 0$. Tích của vectơ $\overrightarrow{a}$  với số k  là một vectơ, kí hiệu $k\vec{a}$ , cùng hướng với $\overrightarrow{a}$  nếu k>0  ngược hướng với k<0  nếu và có độ dài bằng  $\left| k \right|.\left| \overrightarrow{a} \right|$ 

Quy ước: $0.\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

VD1: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC , D và E  lần lượt là trung điểm của BC, AC.  Khi đó ta có  $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GD};\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{GD};\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GD}$

2. Tính chất

Với $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số thực h, k  ta có:

  • $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$
  • $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$
  • $h(k\overrightarrow{a})=(hk)\overrightarrow{a}$
  • .$1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$

VD2: Tìm các vectơ đối của \[\overrightarrow a \]

Trả lời: Vectơ đối của $2\overrightarrow{a}$ là $-2\overrightarrow{a}$ ; của $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ là $-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

3. Trung diểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

  • Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng thì với mọi điểm M  ta có: $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} $
  • Nếu G là trọng tâm tam giác  thì  với mọi điểm M ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

  • Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  ($\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) cùng phương  $\Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ cho trước

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  không cùng phương. Khi đó với mọi $\overrightarrow{x}$  đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , nghĩa là có duy nhất cặp số $\alpha ;\beta $ sao cho $\overrightarrow{x}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}$.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

TỰ LUẬN

Bài 1. Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn

Áp dung qui tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$ (đpcm)

Bài 2.  Trên đường thẳng chứa cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}$. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn

Ta có

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}$

Bài 3. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tìm điểm $K$ sao cho $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

Hướng dẫn

Ta có $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=3\overrightarrow{KA}+2\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB} \right)=5\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AB}$

Do đó $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 5\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{KA}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$

Vậy điểm $K$ nằm trên đoạn thăng $AB$ và bằng $\frac{2}{5}AB$

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (0)