Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chuyên đề 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chuyên đề 7. Chứng minh bất đẳng thức

Trang chủ > Lớp 9 > Toán > Tổng ôn Toán vào 10 > Bài 1. Hàm số bậc nhất y = ax + b

Bài 1. Hàm số bậc nhất y = ax + b

Video

Tài liệu & bài tập tự luyện

Giới thiệu bài học

Bài giảng “Hàm số bậc nhất y = ax+b” sẽ giúp các em làm quen với hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan.

1/ Định nghĩa:

+ Hàm số bậc nhất được cho bởi dạng $y=ax+b$ trong đó $a$ và $b$ là các số thực cho trước và $a\ne 0$.

+ Khi $b=0$ thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số $y=ax$, biểu thị tương quan tỉ lện thuận giữa $y$ và $x$.

2/ Tính chất:

+ Trên tập số thực, hàm số $y=ax+b$ đồng biến khi $a>0$ và nghịch biến khi $a<0$

+ Hàm số xác định trên R

3/ Đồ thị hàm số $y=ax+b$$\left( a\ne 0 \right)$.

+ ĐTHS $y=ax+b$ là đthẳng cắt trục tung tại điểm $(0;b)$ và cắt trục hoành tại điểm  $\left( -\frac{b}{a};0 \right)$

+ \[a\] đgl hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$

4/ Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b$.

+ Vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của đồ thì.

+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ  thị với các trục tọa độ là $A\left( -\frac{b}{a};0 \right),B\left( 0;b \right)$.

+ Chú ý: Đường thẳng đi qua $M\left( m;0 \right)$ song song với trục tung có phương trình: $x-m=0$, đường thẳng đi qua $N\left( 0;n \right)$ song song với trục hoành có phương trình: $y-n=0$

Kiến thức bổ sung.

Cho hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):y=ax+b$ và đường thẳng $\left( {{d}_{2}} \right):y=a'x+b'$ với $a,a'\ne 0$.

  • $({{d}_{1}})//({{d}_{2}})\Leftrightarrow a=a'$ và $b\ne b'$.
  • $({{d}_{1}})\equiv ({{d}_{2}})\Leftrightarrow a=a'$ và $b=b'$.
  • $\left( {{d}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow a\ne a'$.
  • $({{d}_{1}})\bot ({{d}_{2}})\Leftrightarrow a.a'=-1$

 

Ví dụ:Cho đường thẳng $mx+\left( 2-3m \right)y+m-1=0$ $(d)$.

a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng $(d)$ luôn đi qua.

b) Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $(d)$ là lớn nhất.

c) Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt các trục tọa độ $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ cân.

Lời giải:

a) Gọi $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đường thẳng $(d)$ luôn đi qua với mọi $m$ khi đó

ta có: $m{{x}_{0}}+\left( 2-3m \right){{y}_{0}}+m-1=0\forall m$$\Leftrightarrow m\left( {{x}_{0}}-3{{y}_{0}}+1 \right)+2{{y}_{0}}-1=0\forall m$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{0}}-3{{y}_{0}}+1=0 \\ & 2{{y}_{0}}-1=0 \\\end{align} \right.$.

Hay$\left\{ \begin{align}  & {{x}_{0}}=\frac{1}{2} \\ & {{y}_{0}}=\frac{1}{2} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow I\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)$.

b) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $(d)$. Ta có: $OH\le OI$ suy ra $OH$ lớn nhất bằng $OI$ khi và chỉ khi $H\equiv I\Leftrightarrow OI\bot (d)$. Đường thẳng qua $O$ có phương trình: $y=ax$ do $I\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\in OI\Rightarrow \frac{1}{2}=a.\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=1\Rightarrow OI:y=x$.

Đường thẳng $(d)$ được viết lại như sau: $mx+\left( 2-3m \right)y+m-1=0\Leftrightarrow \left( 2-3m \right)y=-mx+1-m$.                                                                       

+ Đế ý rằng với $m=\frac{2}{3}$ thì đường thẳng $(d):x-\frac{1}{2}=0$ song song với trục $Oy$ nên khoảng cách từ $O$ đến $(d)$ là $\frac{1}{2}$.                                                                                

+ Nếu $m\ne \frac{2}{3}$ đường thẳng $(d)$ có thể viết lại: $y=\frac{m}{3m-2}x+\frac{m-1}{3m-2}$. Điều kiện để $(d)\bot OI$ là $\frac{m}{3m-2}.1=-1\Leftrightarrow m=2-3m\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$.  Khi đó khoảng cách $OI=\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy $m=\frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

c) Ta có thể giải bài toán theo 2 cách sau:

+ Cách 1: Dễ thấy $m=\frac{2}{3}$ không thỏa mãn điều kiện (Do $(d)$ không cắt $Oy$).  Xét $m\ne \frac{2}{3}$, đường thẳng $(d)$ cắt $Ox,Oy$ tại các điểm $A,B$ tạo thành tam giác cân $OAB$ , do góc $\widehat{AOB}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta OAB$ vuông cân tại $O$. Suy ra hệ số góc của đường thẳng $(d)$ phải bằng $1$ hoặc $-1$ và đường thẳng $(d)$ không đi qua gốc $O$.

$\left[ \begin{array}{l}
\frac{m}{{3m - 2}} = 1\\
\frac{m}{{3m - 2}} = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$

Ta thấy chỉ có giá trị $m=\frac{1}{2}$ là thỏa mãn điều kiện bài toán.

 Cách 2: Dễ thấy $m=\frac{2}{3},m=0$ không thỏa mãn điều kiện                                                   

Xét $m\ne 0;\frac{2}{3}$, đường thẳng $(d)$ có thể viết lại: $y=\frac{m}{3m-2}x+\frac{m-1}{3m-2}$. Đường thẳng $(d)$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A$ có tung độ bằng $0$ nên $\frac{m}{3m-2}x+\frac{m-1}{3m-2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1-m}{m}\Rightarrow A\left( \frac{1-m}{m};0 \right)\Rightarrow OA=\left| \frac{1-m}{m} \right|$, đường thẳng $(d)$ cắt trục $Oy$ tại điểm có hoành độ bằng $0$ nên $y=\frac{m-1}{3m-2}\Rightarrow B\left( 0;\frac{m-1}{3m-2} \right)\Rightarrow OB=\left| \frac{m-1}{3m-2} \right|$.

Điều kiện để tam giác $OAB$ cân là 

$OA = OB \Leftrightarrow \left| {\frac{{1 - m}}{m}} \right| = \left| {\frac{{m - 1}}{{3m - 2}}} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
\left| m \right| = \left| {3m - 2} \right|
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$

Giá trị $m=1$ không thỏa mãn , do đường thẳng $(d)$ đi qua gốc tọa độ.                                   

Kết luận: $m=\frac{1}{2}$.

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (0)

  Đăng ký tư vấn miễn phí
Cảm ơn bạn đã đăng ký tư vấn

Hocthukhoa.vn

Hocthukhoa.vn là nền tảng giáo dục trực tuyến đi đầu trong việc áp dụng công nghệ cao vào giáo dục, giúp các em học sinh trên toàn Việt Nam được trải nghiệm môi trường giáo dục chất lượng cao linh hoạt, tiện lợi và tiết kiệm.

Liên Hệ

Trụ sở: 14N5 Ngõ 40 đường Xuân La, Tây Hồ , Hà Nội

Cơ sở 2: P11a03 Nhà C Tòa Star Tower 283 Khương Trung, Thanh Xuân, Hà Nội

0973394174

info@hocthukhoa.vn

DMCA.com Protection Status

Mạng Xã Hội

Bản quyền thuộc về Hocthukhoa.vn