Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chuyên đề 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chuyên đề 7. Chứng minh bất đẳng thức

Trang chủ > Lớp 9 > Toán > Tổng ôn Toán vào 10 > Bài 2. Một số ví dụ

Bài 2. Một số ví dụ

Video

Tài liệu & bài tập tự luyện

Giới thiệu bài học

Bài giảng "Một số ví dụ về bất đẳng thức" sẽ giúp các em nắm được các bất đẳng thức và hiểu hơn về bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Nội dung bài học

MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI.

Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận dụng bất đẳng thức Cô si.

Đối với các bài toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau đây là cơ sở để ta phân tích các số hạng sao cho khi áp dụng bất đẳng thức Cô si thì dấu bằng phải đảm bảo.

Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ: Cho $x,y$ là các số dương thỏa mãn \[x+y=2\]. Chứng minh ${{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le 2$

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007)

Lời giải:

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$. Khi đó $xy=1$, ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$

Mặt khác để tận dụng giả thiết $x+y=2$ ta sẽ đưa về hằng đẳng thức ${{\left( x+y \right)}^{2}}$. Vì vậy ta phân tích bài toán như sau:${{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=\frac{1}{2}.xy.2xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$. Theo bất đẳng thức Cauchy thì $xy\le \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}=1$, $2xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le {{\left( \frac{2xy+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2} \right)}^{2}}=\frac{{{\left( x+y \right)}^{4}}}{4}=4$. Từ đó suy ra ${{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le 2$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$.

Ngoài cách làm trên ta có thể giải bài toán bằng cách đưa về một biến: $t=x+y$ hoặc $t=xy$ với chú ý: ${{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy$, $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{2}}$.  Thật vậy: Đặt $t=xy;{{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy$. $\Rightarrow 4={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2t\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4-2t$. Do $xy\le \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}=1\Rightarrow 0<t\le 1$. Ta cần chứng minh: ${{t}^{2}}\left( 4-2t \right)\le 2\Leftrightarrow {{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+1\ge 0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-t-1 \right)\le 0$. Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị $0<t\le 1$.

Đối với các bài toán mà dấu bằng không xảy ra khi các biến bằng nhau. Ta cần chú ý tính đối xứng của từng bộ phận , để dự đoán sau đó liên kết các dữ liệu của bài toán để tìm ra điểm rơi. Từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy để thu được kết quả:

Ví dụ: Cho \[x,y,z>0\] thỏa mãn: \[xy+yz+zx=1\]. Tìm GTNN của \[P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}\]

Giải:

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi \[x=y=az\] và mong muốn biến đổi được : \[P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}\ge k(xy+yz+zx)\] để tận dụng giả thiết \[xy+yz+zx=1\] và dấu bằng xảy ra khi \[x=y=az\]. Để có tích $x.y$ ta áp dụng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy$. Để tạo ra $yz$ ta áp dụng: \[{{y}^{2}}+{{a}^{2}}{{z}^{2}}\ge 2ayz\]. Để tạo ra $zx$ ta áp dụng: \[{{a}^{2}}{{z}^{2}}+{{x}^{2}}\ge 2azx\].

Vì hệ số của $yz,zx$ là $a$ nên ta nhân $a$ vào bất đẳng thức đầu tiên rồi cộng lại theo vế ta thu được\[a(xy+yz+zx)\le \frac{a\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+\left( {{y}^{2}}+{{a}^{2}}{{z}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}{{z}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}{2}=\frac{\left( a+1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2{{a}^{2}}{{z}^{2}}}{2}\]Hay \[2a\le (a+1)({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+2{{a}^{2}}{{z}^{2}}\]. Để tạo ra \[P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}\]ta cần có tỷ lệ:\[(a+1):2{{a}^{2}}=1:2\Rightarrow {{a}^{2}}-a-1=0\Rightarrow a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\].

Từ đó ta tìm được: $P\ge \frac{2a}{1+a}=\sqrt{5}-1$. Các em học sinh tự hoàn thiện lời giải.

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (0)

  Đăng ký tư vấn miễn phí
Cảm ơn bạn đã đăng ký tư vấn

Hocthukhoa.vn

Hocthukhoa.vn là nền tảng giáo dục trực tuyến đi đầu trong việc áp dụng công nghệ cao vào giáo dục, giúp các em học sinh trên toàn Việt Nam được trải nghiệm môi trường giáo dục chất lượng cao linh hoạt, tiện lợi và tiết kiệm.

Liên Hệ

Trụ sở: 14N5 Ngõ 40 đường Xuân La, Tây Hồ , Hà Nội

Cơ sở 2: P11a03 Nhà C Tòa Star Tower 283 Khương Trung, Thanh Xuân, Hà Nội

0973394174

info@hocthukhoa.vn

DMCA.com Protection Status

Mạng Xã Hội

Bản quyền thuộc về Hocthukhoa.vn