Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chuyên đề 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chuyên đề 7. Chứng minh bất đẳng thức

Trang chủ > Lớp 9 > Toán > Tổng ôn Toán vào 10 > Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Hệ thức về cạnh và đường cao

Tài liệu & bài tập tự luyện

Giới thiệu bài học

Bài giảng “Hệ thức lượng trong tam giác vuông” sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Nội dung bài học

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta có:


2) ${{b}^{2}}=a.b';{{c}^{2}}=a.c'$1) ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$.

3) ${{h}^{2}}=b'.c'$

4) $a.h=b.c$.

5) $\frac{1}{{{h}^{2}}}=\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}$.

6) $\frac{b'}{a}=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}$.                                                                                                                             

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: $S=\frac{1}{2}ab$

1/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn:

  • $\sin \alpha =\frac{đối}{huyền}$
  • $\cos \alpha =\frac{kề}{huyền}$
  • $\tan \alpha =\frac{đối}{kề}$
  • $\cot \alpha =\frac{kề}{đối}$
  • Nếu hai góc nhọn $\alpha $ và $\beta $ có $\sin \alpha =\sin \beta $ (hoặc $\cos \alpha =\cos \beta $, hoặc $\tan \alpha =\tan \beta $ hoặc $\cot \alpha =\cot \beta $) thì $\alpha =\beta $
  • Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia và tan góc này bằng cot góc kia. Nếu $\alpha +\beta =90{}^\circ $ thì

           $\sin \alpha =\cos \beta $

          $\cos \alpha =\sin \beta $

          $\tan \alpha =\cot \beta $

          $\cot \alpha =\tan \beta $

2/ Hệ thức lượng giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông:

          \[b=a.sinB=a.cosC\]

          \[c=a.\sin C=a.\cos B\]

          \[b=c.\tan B=c.\cot C\]

          \[c=b.\tan C=b.\cot B\]

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $AB:AC=3:4$ và $AB+AC=21cm$.

a) Tính các cạnh của tam giác $ABC$.

b) Tính độ dài các đoạn $AH,BH,CH$.

Giải:


a). Theo giả thiết:  $AB:AC=3:4$,

suy ra $\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{AB+AC}{3+4}=3$. Do đó $AB=3.3=9$$\left( cm \right)$; $AC=3.4=12\left( cm \right)$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Pythagore ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}=225$, suy ra $BC=15cm$.

  1. b) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $AH.BC=AB.AC$, suy ra \[AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=7,2\left( cm \right)\].

$A{{H}^{2}}=BH.HC$. Đặt $BH=x\left( 0<x<9 \right)$ thì $HC=15-x$, ta có:

${{\left( 7,2 \right)}^{2}}=x\left( 15-x \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-15x+51,84=0\Leftrightarrow x\left( x-5,4 \right)=9,6\left( x-5,4 \right)=0$$\Leftrightarrow \left( x-5,4 \right)\left( x-9,6 \right)=0\Leftrightarrow x=5,4$ hoặc $x=9,6$ (loại)                                  Vậy $BH=5,4cm$. Từ đó $HC=BC-BH=9,6\left( cm \right)$.

Chú ý: Có thể tính $BH$ như sau:

$A{{B}^{2}}=BH.BC$ suy ra $BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{{{9}^{2}}}{15}=5,4\left( cm \right)$.

Ví dụ 2: Cho  tam giác cân $ABC$ có đáy $BC=2a$, cạnh bên bằng $b\left( b>a \right)$.

a) Tính diện tích tam giác \[ABC\]

b) Dựng $BK\bot AC$. Tính tỷ số \[\frac{AK}{AC}\].

Giải:

a). Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Theo định lý Pitago ta có:

$A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}$


$\Rightarrow AH=\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$Suy ra ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}a\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$

b). Ta có $\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}BK.AC={{S}_{ABC}}$

Suy ra $BK=\frac{BC.AH}{AC}=\frac{2a}{b}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}$. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $AKB$ ta có: $A{{K}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{K}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{4{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)=\frac{{{\left( {{b}^{2}}-2{{a}^{2}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}$. Suy ra $AK=\frac{\left| {{b}^{2}}-2{{a}^{2}} \right|}{b}$ do đó \[\frac{AK}{AC}=\frac{\left| {{b}^{2}}-2{{a}^{2}} \right|}{{{b}^{2}}}\].

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (0)

  Đăng ký tư vấn miễn phí
Cảm ơn bạn đã đăng ký tư vấn

Hocthukhoa.vn

Hocthukhoa.vn là nền tảng giáo dục trực tuyến đi đầu trong việc áp dụng công nghệ cao vào giáo dục, giúp các em học sinh trên toàn Việt Nam được trải nghiệm môi trường giáo dục chất lượng cao linh hoạt, tiện lợi và tiết kiệm.

Liên Hệ

Trụ sở: 14N5 Ngõ 40 đường Xuân La, Tây Hồ , Hà Nội

Cơ sở 2: P11a03 Nhà C Tòa Star Tower 283 Khương Trung, Thanh Xuân, Hà Nội

0973394174

info@hocthukhoa.vn

DMCA.com Protection Status

Mạng Xã Hội

Bản quyền thuộc về Hocthukhoa.vn