Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chuyên đề 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chuyên đề 7. Chứng minh bất đẳng thức

Trang chủ > Lớp 9 > Toán > Tổng ôn Toán vào 10 > Bài 5. Hệ thức Vi-et

Bài 5. Hệ thức Vi-et

1. Lý thuyết

Tài liệu & bài tập tự luyện

Giới thiệu bài học

Bài giảng “Hệ thức Viét” Cô Nhung sẽ cùng các em tìm hiểu các bài toán liên quan đến hệ thức Viét.

Nội dung bài học

1/ Kiến thức cơ bản

Định lý (thuận): 

Nếu phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0,\left( a\ne 0 \right)\] có hai nghiệm ${{x}_{1}}$  và ${{x}_{2}}$  thì

$\left\{ \begin{align}  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.$ (S, P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm)

Định lý (đảo):  

Nếu hai số \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=S\] và \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=P\] \[,({{S}^{2}}\ge 4P)\] thì ${{x}_{1}}$  và  ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai: \[{{X}^{2}}-SX+P=0.\]

Hệ quả 1:  Phương trình bậc hai \[{{x}^{2}}-x-1=0\] có tính chất:

\[{{S}_{n}}+2={{S}_{n}}+1+{{S}_{n}}\] và \[{{S}_{m+n}}={{S}_{m}}.{{S}_{n}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}{{S}_{m-n}},\] trong đó ${{S}_{n}}={{\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{n}};{{x}_{1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2};{{x}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$  là hai nghiệm của phương trình.

Hệ quả 2: 

Phương trình bậc hai \[{{x}^{2}}-px-q=0,\left( {{p}^{2}}+4q>0 \right)\] có tính chất: \[{{S}_{n+2}}=p{{S}_{n+1}}+q{{S}_{n}}\] trong đó ${{S}_{n}}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n},{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình.

Hệ quả 3:  Phương trình bậc hai \[{{x}^{2}}-px-q=0,\left( {{p}^{2}}+4q>0 \right)\] có tính chất: \[{{S}_{n+2}}=p{{S}_{n-1}}-{{S}_{n}}\]và  \[{{S}_{m-n}}={{S}_{m}}.{{S}_{n}}+{{S}_{m-n}},\] trong đó ${{S}_{n}}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n},{{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình

Các dạng bài tập sử dụng định lý Vi-et:

Dạng 1:

(1) Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm:

- Hệ thức đối xứng. 

- Hệ thức không đối xứng.

(2) Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số.

(3) Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình không phụ vào tham số.

(4) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình

Dạng 2: Xét dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai.

(1) Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & \Delta \ge 0,\left( \Delta '\ge 0 \right) \\\end{align} \right.$

(2) Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:  $\left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & \Delta \ge 0,\left( \Delta '\ge 0 \right) \\ & S>0 \\ & P>0 \\\end{align} \right.$

(3) Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & \Delta \ge 0,\left( \Delta '\ge 0 \right) \\ & S<0 \\ & P>0 \\\end{align} \right.$

(4) Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi và chi khi P < 0.

(5) Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn $\left\{ {{x}_{1}}<0;{{x}_{2}}>0;\left| {{x}_{1}} \right|>\left| {{x}_{2}} \right| \right\}$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & \Delta \ge 0,\left( \Delta '\ge 0 \right) \\ & S<0 \\ & P<0 \\\end{align} \right.$

(6) Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn $\left\{ {{x}_{1}}<0;{{x}_{2}}>0;\left| {{x}_{1}} \right|<\left| {{x}_{2}} \right| \right\}$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\ & \Delta \ge 0,\left( \Delta '\ge 0 \right) \\ & S>0 \\ & P<0 \\\end{align} \right.$

Dạng 3: Tìm hai số khi biết và tích của chúng.

Cách giải:

Bước 1: Gọi hai số cần tìm là x và y.  Tính: S = x + y = a; P = x.y = b

Bước 2: Khi đó x và y là hai nghiệm của phương trình:  \[{{X}^{2}}-SX+P=0\]

Bước 3: Giải phương trình trên, tìm x; y

2/ Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: ${{x}^{2}}+mx+m+3=0$(1)

a/ Giải phương trình với \[m=-2.\]

b/ Gọi \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình. Tính $x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$ theo m.

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9$

d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\]

e/ Tìm m để phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3\]. Tìm nghiệm còn lại.

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (2)

Nguyễn Hồng Nhung 20-02-2019 Trả lời

hmmmcool

Nguyễn Hồng Nhung 20-02-2019 Trả lời

hmmmcool

  Đăng ký tư vấn miễn phí
Cảm ơn bạn đã đăng ký tư vấn

Hocthukhoa.vn

Hocthukhoa.vn là nền tảng giáo dục trực tuyến đi đầu trong việc áp dụng công nghệ cao vào giáo dục, giúp các em học sinh trên toàn Việt Nam được trải nghiệm môi trường giáo dục chất lượng cao linh hoạt, tiện lợi và tiết kiệm.

Liên Hệ

Trụ sở: 14N5 Ngõ 40 đường Xuân La, Tây Hồ , Hà Nội

Cơ sở 2: P11a03 Nhà C Tòa Star Tower 283 Khương Trung, Thanh Xuân, Hà Nội

0973394174

info@hocthukhoa.vn

DMCA.com Protection Status

Mạng Xã Hội

Bản quyền thuộc về Hocthukhoa.vn