Đăng nhập Đăng ký

Đề cương bài học

Chuyên đề 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Chuyên đề 7. Chứng minh bất đẳng thức

Trang chủ > Lớp 9 > Toán > Tổng ôn Toán vào 10 > Bài 5. Tứ giác nội tiếp

Bài 5. Tứ giác nội tiếp

1. Lý thuyết + Ví dụ 1

Tài liệu & bài tập tự luyện

Giới thiệu bài học

Bài giảng “Tứ giác nội tiếp” Cô Nhung sẽ cùng các em tiếp cận và giải quyết bài toán chứng minh một tứ giác nội tiếp.

Nội dung bài học

Tiêu chuẩn 1. Điều kiện cần và đủ để bốn đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên cùng một đường tròn là tổng số đo của hai góc tứ giác tại hai đỉnh đối diện bằng ${{180}^{0}}$.
 
 

Điều kiện để tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp là: $\widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{0}}$ hoặc $\widehat{B}+\widehat{D}={{180}^{0}}$

Hệ quả: Tứ giác $ABCD$ nội tiếp được $\widehat{BAD}=\widehat{DCx}$

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Kẻ đường cao $AH$ và phân giác trong $AD$ của góc $\widehat{HAC}$. Phân giác trong góc $\widehat{ABC}$cắt $AH,AD$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng: $\widehat{BND}={{90}^{0}}$.


Ta có $\widehat{MHD}={{90}^{0}}$. Nếu $\widehat{MND}={{90}^{0}}$

Phân tích và hướng dẫn giải:

thì tứ giác $MHDN$ nội tiếp. Vì vậy

thay vì trực tiếp chỉ ra góc

$\widehat{BND}={{90}^{0}}$ ta sẽ đi chứng minh

tứ giác $MHDN$ nội tiếp. Tức là ta chứng minh $\widehat{AMN}=\widehat{ADH}$.                                                         

Thật vậy ta có $\widehat{AMN}=\widehat{BMH}={{90}^{0}}-\widehat{MBH}$, $\widehat{NDH}={{90}^{0}}-\widehat{HAD}$ mà $\widehat{MBH}=\frac{1}{2}\widehat{ABC},\widehat{HAD}=\frac{1}{2}\widehat{HAC}$và $\widehat{ABC}=\widehat{HAC}$ do cùng phụ với góc $\widehat{BCA}$ từ đó suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ADH}$ hay tứ  giác $MHDN$nội tiếp$\Rightarrow \widehat{MND}=\widehat{MHD}={{90}^{0}}$


 Tiêu chuẩn 2: Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$

 Ví dụ 1. Trên các cạnh $BC,CD$ của hình vuông $ABCD$ ta lấy lần lượt các điểm $M,N$ sao cho $\widehat{MAN}={{45}^{0}}$. Đường thẳng $BD$ cắt các đường thẳng $AM,AN$ tương ứng tại các điểm $P,Q$.

a) Chứng minh rằng các tứ giác $ABMQ$ và $ADNP$ nội tiếp.

b) Chứng minh rằng các điểm $M,N,Q,P,C$ nằm trên cùng một đường tròn.

Lời giải:


a). Gọi $E$ là giao điểm của $AN$ và $BC$.

Các điểm $M$ và $Q$ nằm trên hai cạnh

$EB$ và $EA$ của tam giác $EBA$, nên tứ giác

$ABMQ$ là lồi. Các đỉnh $A$ và $B$ cùng

nhìn đoạn thẳng $MQ$ dưới một góc ${{45}^{0}}$.

Vì vậy tứ giác $ABMQ$ nội tiếp.

Lập luận tương tự ta suy ra tứ giác $ADNP$ nội tiếp.

b) Từ kết quả câu a, suy ra $\widehat{ADP}=\widehat{ANP}={{45}^{0}},\widehat{QAM}=\widehat{QBM}={{45}^{0}}$$\Rightarrow NP\bot AM,MQ\bot AN$. Tập hợp các điểm $P,Q,C$ nhìn đoạn $MN$ dưới một góc vuông, nên các điểm này nằm trên đường tròn đường kính $MN$.

Tài liệu & bài tập tự luyện

  Vui lòng đăng nhập và mua khóa học để xem tài liệu

Phản hồi của học sinh (0)

  Đăng ký tư vấn miễn phí
Cảm ơn bạn đã đăng ký tư vấn

Hocthukhoa.vn

Hocthukhoa.vn là nền tảng giáo dục trực tuyến đi đầu trong việc áp dụng công nghệ cao vào giáo dục, giúp các em học sinh trên toàn Việt Nam được trải nghiệm môi trường giáo dục chất lượng cao linh hoạt, tiện lợi và tiết kiệm.

Liên Hệ

Trụ sở: 14N5 Ngõ 40 đường Xuân La, Tây Hồ , Hà Nội

Cơ sở 2: P11a03 Nhà C Tòa Star Tower 283 Khương Trung, Thanh Xuân, Hà Nội

0973394174

info@hocthukhoa.vn

DMCA.com Protection Status

Mạng Xã Hội

Bản quyền thuộc về Hocthukhoa.vn